Примеры расчёта частотных характеристик цепей

Пример 1.1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной всеохватывающей схемой замещения (рис.1.4) высчитать ее частотные свойства.

1. Zвх(jw), Zвх(w), jz(w). 2. K(jw), K(w), jk(w).

Решение. 1) По определению Zвх(jw)=Ů1m/ .Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Zвх(jw)=Ů1m/Ĭ1m= Ĭ1m Примеры расчёта частотных характеристик цепей(Z1+Z2)/ Ĭ1m =(R1+R2)+j(X1+X2)=R+jX;

Zвх(w)=[(R1+R2)²+(X1+X2)²]1/2; jz(w)=arctg[(X1+X2)/(R1+R2)].

2) Используя определение К(jw) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению:


Пример 1.2. Для обобщенной двухконтурной цепи, представленной Примеры расчёта частотных характеристик цепей всеохватывающей схемой замещения (рис.1.5), высчитать ее частотные свойства:

1. Zвх(jw), Zвх(w), jz(w). 2.K(jw), K(w), jk(w).

Решение. 1) Найдем КЧХ, также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления.


По определению Zвх(jw)=Ů1m/ .Входное сопротивление находим способом поочередных эквивалентных преобразований.Этот методсостоит в поэтапном преобразовании обычных участков цепи Примеры расчёта частотных характеристик цепей. Они показаны на рис.1.6.

2. найдем КЧХ коэффициента передачи по напряжению. По определения Ku(jw)=Ů2m/Ů1m , а Ů2m=Z4Ĭ2 – находим по закону Ома.

Отсюда видно, что для расчета КЧХ нужно отыскать Ĭ2. Находим Ĭ2 способом контурных токов. Для этого: определим число независящих контуров: Nk=в-у+1=3-2+1=2, каждому из их присвоим собственный контурный Примеры расчёта частотных характеристик цепей ток I1, I2 и составим уравнения по способу контурных токов.

Z11Ĭ1+Z12Ĭ2=E11

Z21Ĭ1+Z22Ĭ2=E22 ,

где: Z11 – собственное сопротивление первого контура, Z11=Z1+Z2;

Z12 и Z21 сопротивление смежных контуров, Z12= Z21= - Z2 ;

Z22-собственное сопротивление II контура. Z22=Z2+Z3+Z4 ;

E11-алгебраическая сумма источников ЭДС Примеры расчёта частотных характеристик цепей I-ого контура, E11=U1m;

E22- алгебраическая сумма источников ЭДС II-ого контура, во II контуре источников ЭДС нет, E22=0. Найдем I2- ток второго контура (по способу Крамера), а потом и КЧХ коэффициента передачи по напряжению:


Покажем другой метод нахождения КЧХ коэффициента передачи по напряжению. Найдем КЧХ, используя для Примеры расчёта частотных характеристик цепей расчета U2m способ узловых потенциалов. Для этого:

· преобразуем начальную схему к виду показанному на рис.1.7, заменив источник эдс на источник тока;

· потенциал узла 0 примем равным нулю, j0=0;

· тогда Ů2m=j2 - j0= j2.

Составив уравнения по способу узловых потенциалов, получим систему второго порядка и решим ее, относительно j2, по способу Примеры расчёта частотных характеристик цепей Крамера:

Y11j1+ Y12j2=I11

Y21j1+ Y22j2=I22,

где: Y11 – собственная проводимость первого узла, Y11=(1/Z1)+(1/Z2)+(1/Z3);

Y12 и Y12 – межузловая проводимость Y12= Y21= - 1/Z3; =-1/Z3;

Y22 - собственная проводимость первого узла Y22=(1/Z3) +(1/Z4);

j1, j2 – потенциалы первого и второго узлов;


I11, I11 – токи источников токов Примеры расчёта частотных характеристик цепей сходящихся в первом и втором узлах.

Отсюда следует, что

Ku(jw)=Ů2m/Ů1m =Z2Z4/(Z2Z4+Z2Z3+Z1Z2+Z1Z3+Z1Z4).

Пример 1.3. Для цепи изображенной на рис.1.8 высчитать:

1. zвх(jw), z(w), jz(w).

2. KU(jw), K(w), jK(w).

От начальной цепи перебегаем к Примеры расчёта частотных характеристик цепей ее всеохватывающей схеме замещения. Она соответствует схеме на рис.1.4.

Используя, определение zвх(jw) и законы Ома и Кирхгофа получим его выражение

Определим АЧХ и ФЧХ для zвх(jw) и построим их графики (рис.9), подсчитав значения при w=0, w=¥.

; Zвх(0) = ¥. Zвх(¥) = R.

jz(w)= -arctg , jz Примеры расчёта частотных характеристик цепей(0)=-p/2, jz(¥)=0.

Используя, определение KU(jw) получим его выражение Ku(jw)= = = = .

Определим АЧХ и ФЧХ для Ku (jw) и построим их графики (рис.1.10), подсчитав значения при w=0, w=¥.

Вспомним, что z= = где: тогда,

Ku(0)=1; Ku(¥)=0.


Отсюда следует: φк(¥)= π/2, φк(0)= 0.

Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Ku(0)=1) и Примеры расчёта частотных характеристик цепей подавляет сигналы больших частот (Ku(¥)=0) и именуется фильтром низких частот (ФНЧ).

Граничная частота определяется из выражения . Рассчитаем ее для нашего примера:

, wгрRC=1 Þ .

Пример 1.4. Условия прежние. Схема приведена на рис. 1.11.

Найдем всеохватывающую функцию входного сопротивления, также ее АЧХ и ФЧХ и построим графики (рис.1.12).

От начальной цепи перебегаем к Примеры расчёта частотных характеристик цепей ее всеохватывающей схеме замещения (рис.1.4). Дальше, по аналогии с прошлом, найдем интересующие нас частотные зависимости:

; , z(0)=R; z(¥)=¥.

,,jz(0)=0 ,jz(¥)=p/2.

Получим выражения для KU(jw), KU(w), jk(ω).

, Ku(0)=0, Ku(¥)=1.

Графики зависимостей KU(w), jk(ω) приведены на рис.1.13.

jk(0)=-p/2; jk(¥)=0.

Эта Примеры расчёта частотных характеристик цепей цепь, пропускающая сигналы больших частот и подавляющая сигналы низких частот именуется фильтром больших частот (ФВЧ).

Определим граничную частоту. По определению . Отсюда:

.

Пример 1.5. Для цепи (рис.1.14) найти всеохватывающую функцию входного сопротивления Zвх(jw), ее АЧХ - Zвх(w) и ФЧХ - j2(w).

Дано: R1=1кОм R2=2кОм; R3=2кОм; C Примеры расчёта частотных характеристик цепей=1мкФ; L=10-2Гн.

Решение. Всеохватывающую функцию входного сопротивления находим способом эквивалентных преобразований, перейдя к всеохватывающей схеме замещения (рис.1.5).

На первом шаге преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение частей L и R3. Получим выражение для их всеохватывающего сопротивления Z34=jwL+R3.

На втором шаге преобразуем участок цепи, состоящий из параллельно Примеры расчёта частотных характеристик цепей соединенных частей R2 и Z34. Получим .

На 3-ем, заключительном, шаге преобразуем участок цепи, содержащий последовательное соединение ветки Z1, состоящей из поочередного соединения R1 и C и участка цепи с сопротивлением Z234. Получим

.

Запишем приобретенное выражение в алгебраической форме:

.

Отсюда выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:

.


Высококачественный анализ схемы Примеры расчёта частотных характеристик цепей указывает, что при w=0, т.к. Xс=¥ - входное сопротивление - равно бесконечности, а при w®¥, т.к. XC=0, XL=¥, входное сопротивление равно R1+R2. Это совпадает с расчетом по приобретенным выражениям, что подтверждает их корректность.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.15 и 1.16). При всем этом значение Примеры расчёта частотных характеристик цепей частоты взято в логарифмическом масштабе т.е. lg w.

Пример 1.6. Для цепи (рис.1.14), используя способ контурных токов, вывести выражения для всеохватывающей функции коэффициента передачи напряжений Ku(jw) (его АЧХ - Ku(w) и ФЧХ - jk(w)) и выстроить графики АЧХ и ФЧХ.

Решение. Топологический анализ указывает: число узлов Примеры расчёта частотных характеристик цепей nу=2, число веток nв=3. Отсюда число независящих контуров Nв=nу-nв+1=3-2+1=2. Избираем направление обхода контуров, обычно, по часовой стрелке. Вводим обозначения и направления контурных токов и , как показано на рис. 1.14.

Для нахождения используя МКА нужно отыскать ток ( =R3 ). Система уравнений, составленная по способу контурных токов, имеет вид:

Решая систему по Примеры расчёта частотных характеристик цепей способу Крамера относительно тока , получаем:

.

Отсюда выражение для всеохватывающего коэффициента передачи напряжения имеет вид:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

;

.


Высококачественный анализ схемы указывает, что при w=0, т. к. XC(w=0)®¥, то U2m=0, т.е. Ku(0)=0. При w=¥, XL(w=¥)®¥, а поэтому U2m=0, т.е Примеры расчёта частотных характеристик цепей. Ku(¥)=0. Это ты совпадает с расчетом по приобретенным выражениям для АЧХ, что подтверждает корректность проведенных расчетов.

Результаты расчета АЧХ и ФЧХ представлены на графиках (рис.1.17 и 1.18). При всем этом значения частоты взяты в логарифмическом масштабе, т.е. lgw.

Пример 1.7. Решить пример 1.6 способом узловых потенциалов.

Решение. Схема Примеры расчёта частотных характеристик цепей содержит три узла (nу=3). Пронумеруем узлы и введем их обозначения (рис.1.14). Для нахождения U2m нужно найти j2=U2m. Система уравнений, для нахождения j2, составленная по способу узловых потенциалов, имеет вид:

где , .

Решая эту систему относительно j 2 по способу Крамера, получим:

.

Отсюда, после подстановок, получим выражение для всеохватывающего коэффициента Примеры расчёта частотных характеристик цепей передачи напряжения:

.

АЧХ и ФЧХ соответственно равны:

,

.

Сопоставляя результаты расчета в данном примере с плодами предшествующего примера, лицезреем их полное совпадение. Это подтверждает корректность наших расчетов.


Раздел 2


primeri-tekstov-soprovoditelnih-pisem.html
primeri-tem-vipusknih-rabot.html
primeri-temi-neschastnaya-lyubov-iz-filmov.html